HW Ασκήσεις Κεφαλαίου 1 - Θεμέλια Κουρουνιώτης

Δυναμοσύνολο: Έστω $Α \subseteq Ω$ . Αναρωτιώμαστε πόσα και ποια είναι όλα τα πιθανά του υποσύνολα Β. Δηλαδή θέλω $Β \subseteq Α$.

πχ. $Α = \{ 1 \} \Rightarrow Β = \oslash$ ή $Β = \{ 1 \} = Α$

$A = \{ 1 , 2\} \Rightarrow$

      **ή**    $B = \\oslash$                                  ( 0 στοιχείο )

      **ή**   $Β = \\ \\{ 1  \\}$  **ή**  $Β = \\ \\{ 2  \\}$     ( 1 στοιχείο ) 

      **ή**   $Β = \\ \\{ 1 , 2 \\}$                          ( 2 στοιχεία )

$Α = \{ 1 , 2, 3 \} \Rightarrow \emptyset , \{ 1 \}, \{ 2 \}, \{ 3 \}, \{ 1 , 2\}, \{ 1 , 3\}, \{ 2 , 3\}, \{ 1 , 2 , 3\}$

Ορίζω ως $P{(A)}$ : = Δυναμοσύνολο του $Α = \{ B : \ B \subseteq A \}$ = Σύνολο των υποσυνόλων του Α.

πχ. $P{(A)} = \{ \ \emptyset , \{ 1 \}, \{ 2 \}, \{ 3 \}, \{ 1 , 2\}, \{ 1 , 3\}, \{ 2 , 3\}, \{ 1 , 2 , 3\} \ \}$

Κάθε στοιχείο του δυναμοσυνόλου είναι ΣΥΝΟΛΟ “σακουλάκι από σακουλάκια”

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ :

$B \in P{(A)} \ \Leftrightarrow B \subseteq A$
Το πλήθος των στοιχείων του $| P_{(A)} | = 2^{|A|}$ αρκεί το $|A| < \infty$. Από προηγούμενο παράδειγμα: $| Α | = 3 \Rightarrow |P{(A)}| = 2^3 = 8$.

Άσκηση:

Εάν $Α = \{ \emptyset , 1 \}$ τότε:

$P{(A)} =\ ?$
$|P{(A)}| =\ ?$
$P{(P{(A)})} =\ ?$
$\emptyset \in P{(A)} \ ?$
$\emptyset \subseteq P{(A)} \ ?$