$\underline{\underline{Θεώρημα}}$: $(A\cup B) \times C = (A\times C) \cup (B\times C)$

                 $\\begin{array}{|l|}
\\hline 

\textcolor{blue}{(A\cap B) \times C = (A\times C) \cap (B\times C)}\,\,\,\,\,\,\,* \\ \hline \end{array}$

                                            $A\\times (B\\cap C) = (A\\times B) \\cup (A\\times C)$

                      $A\\times (B\\cap C) = (A\\times B)\\cap (A\\times C)$

$\underline{\underline{π.χ.}} \,\,\,\,\,Α=(1,2) \,\,\,\,\, Β=(2,3)\,\,\,\,\, C=(4)$

$\begin{aligned} A\cup B = (1,2,3)\\ C=(4) \end{aligned} \Bigg\} \Rightarrow (A\cup B)\times C = \left\{ (1,4),(2,4),(3,4)\right\}$

                                                                                                ίδια $\\uparrow$ 

                                                                                                        $\\downarrow$

$\begin{aligned} A\times C = \left\{ (1,4),(2,4)\right\}\\ B\times C = \left\{(2,4),(3,4)\right\} \end{aligned}\Bigg\}(A\times C)\cup(B\times C)$=$\left\{(1,4),(2,4),(3,4)\right\}$

• Γιατί? θ.ν.δ.ο. $(Α\cap B)\times C = (A\times C)\cap (B\times C)$

Απόδ. Για να δείξω ότι $Γ=Δ$ σύνολο δείχνω ότι $Γ\subseteqΔ$ και $Δ\subseteq Γ$ τότε υποχρεωτικά $Γ=Δ$.

                                              Γ                                                  Δ

“$\Rightarrow$” θα δείξω ότι $\begin{array}{|l|} \hline \textcolor{grey}{(\underline{A\cap B}) \times \underline{C} } \\ \hline \end{array}$ $\subseteq$ $\begin{array}{|l|} \hline \textcolor{grey}{(A\times C)\cap(B\times C) } \\ \hline \end{array}$

για να δείξω ότι $Γ\subseteq Δ$ αρκεί να δείξω ότι το τυχαίο $x\epsilon Γ\Rightarrow x\epsilon Δ$

Τα στοιχεία του Γ είναι διατεταγμένα ζεύγη. Έστω

                                    $(α,β)\\epsilon Γ\\Rightarrow \\underline{α\\epsilon A\\cap B} \\,\\,\\underline{\\underline{και}}\\,\\, \\underline{β\\epsilon C}$

                                               $( \\underline{α\\epsilon A}\\,\\, και\\,\\, \\underline{α\\epsilon β})\\,\\, και \\,\\,\\underline{\\underline{β\\epsilon C}} \\Rightarrow$

                                               $(α,β)\\epsilon Α\\times C$ $και$  $(α,β)\\epsilon B\\times C \\Rightarrow$