Όπου διαβάζουμε την λέξη Αριθμητική σημαίνει Προσέγγιση.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα πρόβλημα ή ένα αλγόριθμο, του οποίου την ακριβή τιμή/λύση την συμβολίζουμε με $x^*$.
Για κάποιο λόγο, δε μας ενδιαφέρει ή δεν μπορούμε ή δε θέλουμε να τη βρούμε επακριβώς.
Για τον λόγο αυτό, αντί να βρω το $x^*$, το προσεγγίζω!
Δηλαδή βρίσκω κάποιο $x$ τέτοιο ώστε $x \simeq x^*$.
To $x$ λέγεται καλή προσέγγιση του $x^$ εάν το $x$ είναι αρκετά (ποιος το καθορίζει άραγε ??) κοντά στο $x^$.
Για παράδειγμα, έστω $x^* = 2$, και η προσέγγιση αυτού $x = 1.9$ . Έπεσα έξω κατά 0.1.
<aside> 📖
Εάν $x$ είναι μία προσέγγιση του $x^$, τότε έχω (απόλυτο) σφάλμα $:=|x - x^|$
</aside>
Παραδείγματα
Παρατηρήστε ότι στα παραπάνω παραδείγματα, αν και έχω το ίδιο σφάλμα, με κάποιο τρόπο, στο δεύτερο παράδειγμα έχω πέσει πολύ παραπάνω “έξω”.
<aside> 📖
Έστω $x$ είναι μία προσέγγιση του $x^*\neq 0$, τότε έχω
Σχετικό Σφάλμα $\displaystyle:= \frac{\text{Σφάλμα}}{|x^|}=\frac{|x - x^|}{|x^*|}$
</aside>
<aside> 🔥
To σχετικό σφάλμα εκφράζει πόσο % έπεσα έξω!
</aside>