Τι μπορώ να κάνω για να το λύσω;

$\displaystyle e^{-x} = \frac{1}{e^x} \approx \frac{1}{1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} }$, δηλαδή χρησιμοποιώ το ανάπτυγμα Taylor του $e^x$ αντί του $e^{-x}$. Έτσι αποφεύγω αφαιρέσεις όρων πολύ κοντινών μεταξύ τους και θα πάρω καλύτερο αποτέλεσμα!

Άλλα παραδείγματα:

1. Εάν έχω $x \approx y$, τότε αντί να υπολογίσω $\sqrt{x} - \sqrt{y}$, υπολογίζω το ίσο του $\displaystyle \frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$ που (μάλλον) είναι καλύτερο (ακολουθεί αριθμητικό παράδειγμα στη σελίδα 24).
2. Θέλω να υπολογίσω το $\displaystyle \sum^{1000}_{n=1} \frac{1}{n}$.

Υπενθύμιση: για $n \rightarrow \infty$, είναι η αρμονική σειρά $\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n} = \infty$

Έστω ότι το υπολογίζω με τον παρακάτω κώδικα Python:

sum = 0
for i in range(1,10000):
	sum = sum + 1/i
print (sum)

δηλαδή:

$$ \begin{aligned} \text{sum} &= 0 \\ &= 0 + \frac{1}{1} \\ &= \left ( 0 + \frac{1}{1} \right ) + \frac{1}{2} \\ &= \left ( 0 + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} \right ) + \frac{1}{3} \\ & \vdots \end{aligned}

$$

Παρατηρώ ότι σε μια μεγάλη ποσότητα (το άθροισμα εντός των παρενθέσεων) προσθέτω κάτι ολοένα και πιο μικρό.