Λόγω μονοτονίας στο $[0,+\infty]$ η ρίζα είναι μοναδίκη.

Προφανώς η $f$ δέν μηδενίζεται για $x \in (-\infty,0)$.

Άρα η $f$ έχει μοναδική ρίζα στο $(0,+\infty)$.

$\rightarrow$ΟΚ **η ρίζα κρύβεται στο $(0,+\infty)$ αλλά αυτό είναι ΤΕΡΑΣΤΙΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ. Μπορώ να κάνω κάτι καλύτερο?

$\rightarrow$ΝΑΙ να εφαρμόσω θ.Bolzano: Παρατήρω ότι

$f(x)=x^3+x-1$

Οπότε $\rightarrow$ $f(0)=-1<0$

   $\\rightarrow$ $f(1)=1>0$

$\rightarrow$ $f$ συνεχής

Άρα σύμφωνα με το θ.Bolzano $ρ\in(0,1)$

θ.Bolzano Εάν η $f$ είναι συνεχής στο $[α,β]$ και $f(α)*f(β)<0$ τότε η $f$ έχει τουλάχιστον μία ρίζα $ρ\in(α,β)$.

Παρατηρήσεις

1. Εν γένει (δηλ. γενικά) μπορεί να υπάρχουν και περισσότερες απο μια ρίζα στο $(α,β)$
2. Δέν μπορώ πάντα να εφαρμόσω θ.Bolzano ακόμα και εάν ξέρω ότι υπάρχει ρίζα, δηλ. μπορεί να μην μπορώ να βρω α,β τ/ω $f(α)*f(β)<0$ και $ρ\in(α,β)$.

π.χ

   $f(x)=x^2$ έχει ρ=0 όμως $\\nexists α,β$ τ/ω $0\\in(α,β)$ 

με $f(α)*f(β)<0$ (αφού $f(α)*f(β)>0$