$\displaystyle Q = \{\frac{a}{b}: a,b\in\mathbb{Z}, b\neq 0\}$ = ρητοί

Όπου:

• $\boxed{\frac{a}{b}}$ : η μορφή των στοιχείων του συνόλου
• $\boxed{:}$ : τέτοια ώστε // με τους εξής περιορισμούς
• $\displaystyle\boxed{a,b\in\mathbb{Z}, b\neq 0\}}$ : περιορισμός

πχ:

$$ \begin{equation*} A = \left\{ x \in \mathbb{R} : x^2 \lt 5 \right\} = \left\{ x \in \mathbb{R} | x \lt \sqrt{5} \land x \gt -\sqrt{5} \right\} \end{equation*} $$

$$ \begin{equation*} = \left\{ x \in \mathbb{R} : -\sqrt{5} \lt x \lt \sqrt{5} \right\} = (-\sqrt{5}, \sqrt{5}) \end{equation*} $$

$\boxed{|}$ : ιδιο με $\boxed{:}$

<aside> 💡

Τα διαστήματα είναι σύνολα!

</aside>

$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{X}$ όπου $\mathbb{X}$ = οι άρρητοι (δεν υπάρχει φιξ συμβολισμός)

Η ανάγκη μας να φτάσουμε στο $sup$ συνόλων (δηλαδή στο ελάχιστο άνω φράγμα τους) μας οδήγησε από το $\mathbb{Q}$ στο $\mathbb{R}$.

<aside> 💡

Πολύ γνωστό: $\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$

όπου $\mathbb{C} = \left\{ x + yi : x,y \in \mathbb{R} \right\}$ οι μιγαδικοί αριθμοί, όπου $i^2=-1.$

</aside>

Πώς δείχνω την ισότητα δύο συνόλων Α,Β?

• Αρκεί να αποδείξω ότι $A \subseteq B \land B \subseteq A$. Τότε σίγουρα $A = B$.