Στα παρακάτω θέματα, κάντε αντικατάσταση όπου $c$ το τελευταίο ψηφίο του Αριθμού Μητρώου σας αυξημένο κατά 2. πχ. ΑΜ 2025030159 → $c=11$.

Θέμα 1 - Μονάδες 6+6+8

Δίνεται η ακολουθία $a_{n+1} = \sqrt{(c+1)a_n-c}, \ a_1 = c+1.$

1. Δείξτε ότι $a_n \ge 1$ για κάθε $n\in\mathbb{N}$.
2. Δείξτε ότι είναι μονότονη.
3. Ελέγξτε εάν έχει όριο. Εάν ναι, βρείτε το.

• Λύση για το 1.
• Λύση για το 2.
• Λύση για το 3.

Θέμα 2 - Μονάδες 10+10+10

Να βρείτε εάν υπάρχουν τα όρια των ακολουθιών

$\displaystyle a_n = \frac{(cn+\cos n)(n+c)^n}{n^n(2cn+\sin n)}, \ \ \ b_n = \frac{n^c}{(1+c)^n}, \ \ \ c_n = \sqrt[2n]{n^3+cn+c+1}$

• Λύση για την $a_n$
• Λύση για την $b_n$
• Λύση για την $c_n$

Θέμα 3 - Μονάδες 10+10+10

Να εξετάσετε τη σύγκλιση των σειρών

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n-\sqrt{n^2-1}}{\sqrt{n(n+1)}} \ \ \ \ \ \ \ \sum_{n=0}^\infty (c+2)^{n}(c+3)^{-n+1} \ \ \ \ \ \ \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{c}{6^n} + \frac{c+1}{2n} \right)$

Για όσες συγκλίνουν, να βρείτε το άθροισμά τους.

• Λύση για την 1η.